Question

如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,tanC=,AB=a,在△ABC內作一系列的正方形,求所有這些正方形的面積和S.

Answer 1

分析：這個題目的關鍵點是每一個小三角形都相似,據此可以寫出S_n與a_n的關系式,經過化簡,再求極限.

解： 設第n個正方形的邊長為an,則由三角形相似,可得(其中S_n=a₁+a₂+…+a_n).

因為AB=a,tanC=,所以BC=2a.

于是即S_n=2a-2a_n.

當n≥2時,有a_n=S_n-S_n-1=-2a_n+2a_n-1,

即3a_n=2a_n-1,

因為tanC=,所以AB=a=a₁+a₁.

所以a₁²=

所以數列{a_n²}是首項為,公比為的無窮等比數列，

S=(S₁+S₂+…+S_n)=

點評：解決與無窮數列各項和有關的應用問題，關鍵是由題意找準首項、公比，求出前n項和，再求極限.對于形如qⁿ的極限，當|q|<1時，可直接使用qⁿ=0這一運算法則；當|q|>1時，可將分子、分母同除以增長“最快”的項,先轉化形式,再求極限.