Question

已知函數f(x)=alnx+

1

2

x2+(a+1)x+1．
（Ⅰ）當a=-1時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在定義域（0，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當a=-1時，f(x)=-lnx+

1

2

x2+1，從而得到f'（x）=-

1

x

+x=0的根為x=1，然后在（0，1）和（1，+∞）上分別討論的正負，即可得到函數f（x）的增區間為（1，+∞）；
（II）將函數f（x）求導數，得f'（x）=

(x+1)(x+a)

x

，結合函數的定義域（0，+∞）可得x＞0且x+1＞0，從而x+a＞0在（0，+∞）上恒成立，所以實數a的取值范圍是[0，+∞）．

解答：解：（I）當a=-1時，函數f(x)=-lnx+

1

2

x2+1，
∴f'（x）=-

1

x

+x=

(x+1)(x-1)

x

，
∵函數的定義域為（0，+∞），可得當x∈（1，+∞）時f'（x）＞0
∴函數f（x）的增區間為（1，+∞）
（II）∵f(x)=alnx+

1

2

x2+(a+1)x+1，
∴f'（x）=

a

x

+x+a+1=

(x+1)(x+a)

x

∵函數f（x）在定義域（0，+∞）上是增函數，
∴f'（x）=

(x+1)(x+a)

x

＞0在（0，+∞）上恒成立
由x＞0且x+1＞0，可得x+a＞0在（0，+∞）上恒成立
∴a≥0，即實數a的取值范圍是[0，+∞）．

點評：本題給出含有字母參數的基本初等函數，討論了函數的單調性，著重考查了利用導數研究函數的單調性和函數恒成立等知識點，屬于中檔題．