Question

已知直線y=x+m被橢圓4x²+y²=1截得的弦長為

2 2

5

，則m的值為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：將直線的方程y=x+m與橢圓的方程4x²+y²=1聯立，借助于韋達定理，通過弦長公式，從而可求得m的值．

解答： 解：把直線y=x+m代入橢圓方程得：4x²+（x+m）²=1
即：5x²+2mx+m²-1=0，
設該直線與橢圓相交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程5x²+2mx+m²-1=0的兩根，由韋達定理可得：x₁+x₂=-

2m

5

，x₁•x₂=

m2-1

5

，
∴|AB|=

1+12

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

4m2 25 - 4m2-4 5

=

2 2

5

；
∴m=±

5

2

．
故答案為：±

5

2

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系與弦長問題，難點在于弦長公式的靈活應用，屬于中檔題．