Question

已知：函數(shù)f(x)=ax+

b

x

+c（a，b，c是常數(shù)）是奇函數(shù)，且滿足f(1)=

5

2

，f(2)=

17

4

（1）求a，b，c的值；
（2）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

1

2

）上的單調(diào)性并說明理由；
（3）試求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f(x)=ax+

b

x

+c是奇函數(shù)，得到c=0，再由題中的2個等式建立關于a、b的方程組，解之即可得到a、b的值；
（2）區(qū)間（0，

1

2

）上任取兩個自變量x₁、x₂，將對應的函數(shù)值作差、變形到因式積的形式，判斷符號，根據(jù)據(jù)單調(diào)性的定義可得f（x）=2x+

1

2x

在區(qū)間（0，

1

2

）上是減函數(shù)．
（3）根據(jù)（2）的結論，判斷函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）在區(qū)間（0，

1

2

）上是減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，因此可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值為f（

1

2

）=2．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=ax+

b

x

+c是奇函數(shù)，滿足f（-x）=-f（x），∴c=0
∵

f(1)= 5 2 f(2)= 17 4

，∴

a+b= 5 2 2a+ b 2 = 17 4

，解之得a=2，b=

1

2

（2）由（1）可得f（x）=2x+

1

2x

∴f（x）=2x+

1

2x

在區(qū)間（0，0.5）上是單調(diào)遞減的
證明：設任意的兩個實數(shù)0＜x₁＜x₂＜

1

2

∵f（x₁）-f（x₂）=2（x₁-x₂）+

1

2x1

-

1

2x2

=2（x₁-x₂）+

x2-x1

2x1x2

=

(x2-x1)(1-4x1x2)

2x1x2

又∵0＜x₁＜x₂＜

1

2

∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜

1

4

，1-4x₁x₂＞0，可得f（x₁）-f（x₂）＞0
即對任意0＜x₁＜x₂＜

1

2

，均有f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）=2x+

1

2x

在區(qū)間（0，

1

2

）上是減函數(shù)．
（3）由（2）得f（x）=2x+

1

2x

在區(qū)間（0，0.5）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
類似地可證出對任意x₁＞x₂＞

1

2

，均有f（x₁）＞f（x₂），
可得f（x）=2x+

1

2x

在區(qū)間（

1

2

，+∞）上是增函數(shù)．
因此，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值為f（

1

2

）=2．

點評：本題給出含有字母參數(shù)的基本初等函數(shù)，在已知函數(shù)的奇偶性情況下求參數(shù)的值，并討論函數(shù)的單調(diào)性．著重考查了函數(shù)的簡單性質(zhì)和函數(shù)最值求法等知識，屬于中檔題．