Question

10．已知命題p：?x∈[1，$\sqrt{2}$]，x²-a≥0，命題q：?x₀∈R，$\frac{1}{4}$x₀²-ax₀+2-a=0，若命題“p∧q”為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：?x∈[1，$\sqrt{2}$]，x²-a≥0，可得a≤（x²）_min．命題q：?x₀∈R，$\frac{1}{4}$x₀²-ax₀+2-a=0，可得△≥0．再根據命題“p∧q”為真命題，即可得出．

解答 解：命題p：?x∈[1，$\sqrt{2}$]，x²-a≥0，∴a≤（x²）_min=1．
命題q：?x₀∈R，$\frac{1}{4}$x₀²-ax₀+2-a=0，∴△=${a}^{2}-4×\frac{1}{4}×（2-a）$≥0，解得a≥1或a≤-2．
若命題“p∧q”為真命題，∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a≥1或a≤-2}\end{array}\right.$，
解得a=1或a≤-2．
∴實數a的取值范圍是（-∞，-2]∪{1}．

點評 本題考查了簡易邏輯的性質、函數的單調性、一元二次方程的實數根與判別式的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．