Question

已知f（x）是R上的增函數，a，b∈R．證明下面兩個命題：
（1）若a+b＞0，則f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；
（2）若f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b），則a+b＞0．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用a+b＞0，化為a＞-b，b＞-a，利用增函數以及不等式的性質即可證明f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；
（2）通過f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b），假設a+b≤0，則a≤-b，b≤-a，推出f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）得到矛盾，推出結果．
解答：證明：（1）證明：因為a+b＞0，所以a＞-b，b＞-a，---------------------（2分）
又因為f（x）是R上的增函數，所以f（a）＞f（-b），f（b）＞f（-a），---------------------（4分）
由不等式的性質可知f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）．---------------------（5分）
（2）假設a+b≤0，則a≤-b，b≤-a，---------------------（6分）
因為f（x）是R上的增函數，所以f（a）≤f（-b），f（b）≤f（-a），
所以f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b），---------------------（8分）
這與已知f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）矛盾，
所以假設不正確，所以原命題成立．---------------------（10分）
點評：本題考查不等式的證明，反證法的應用以及函數的單調性的應用，考查邏輯推理能力．