【題目】已知數列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1﹣1=an2（n∈N）．記Sn=a1+a2+…+an ． Tn= 
+ 
+…+ 
．求證：當n∈N*時
（1）0≤an＜an+1＜1；
（2）Sn＞n﹣2；
（3）Tn＜3．
【答案】
（1）證明：因為an+12+an+1﹣1=an2，（1）所以an2+an﹣1=an﹣12，（2）
，
所以an+1﹣an與an﹣an﹣1同號，即與a2﹣a1一致．
因為 
，且a2﹣a1＞0，
∴an+1﹣an＞0，
∵ 
，
∴ 
，
即an+1＜1
綜上所述：0≤an＜an+1＜1對任何n∈N*都成立．
（2）證明：由 
，k=1，2，…，n﹣1（n≥2），
得 
．
因為a1=0，所以 
．
∵an＜1，
所以Sn＞n﹣2．
（3）證明：由 
，得 
所以 
，
于是 
，
故當n≥3時， 
，
又因為T1＜T2＜T3，
所以Tn＜3．
【解析】（1）先證明an+1﹣an＞0，再證明an+1＜1．（2）由ak+12+ak+1﹣1=ak2 ， 對k取1，2，…，n﹣1時的式子相加得Sn ， 最后對Sn進行放縮即可證得．（3）利用放縮法由 ，得 ，即可得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的通項公式的相關知識，掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校從參加高三年級期中考試的學生中隨機統計了40名學生的政治成績,這40名學生的成績全部在40分至100分之間,據此繪制了如圖所示的樣本頻率分布直方圖.
（1）求成績在[80,90）的學生人數；
（2）從成績大于等于80分的學生中隨機選2名學生,求至少有1 名學生成績在[90,100]的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將號碼分別為1、2、…、9的九個小球放入一個袋中，這些小球僅號碼不同，其余完全相同，甲從袋中摸出一個球．其號碼為a，放回后，乙從此袋中再摸出一個球，其號碼為b，則使不等式a－2b＋10>0成立的事件發生的概率等于________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有下列說法：
①在殘差圖中，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域內，說明選用的模型比較合適；
②用相關指數R2來刻畫回歸的效果，R2值越大，說明模型的擬合效果越好；
③比較兩個模型的擬合效果，可以比較殘差平方和的大小，殘差平方和越小的模型，擬合效果越好．
④在研究氣溫和熱茶銷售杯數的關系時，若求得相關指數R2≈0.85，則表明氣溫解釋了15％的熱茶銷售杯數變化.
其中正確命題的個數是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數f（x）= 
若a，b，c，d各不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），則abcd的取值范圍是（ ）
A.（24，25）
B.[16，25）
C.（1，25）
D.（0，25]
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}滿足a1= 
，an+1an=2an+1﹣1（n∈N*），令bn=an﹣1．
（1）求數列{bn}的通項公式；
（2）令cn= 
，求證：c1+c2+…+cn＜n+ 
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，函數
（1）討論
的單調區間和極值；
（2）將函數
的圖象向下平移1個單位后得到
的圖象，且
為自然對數的底數）和
是函數
的兩個不同的零點，求
的值并證明： 
。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知實數a＞0，b＞0，函數f（x）=|x﹣a|﹣|x+b|的最大值為3．
（I） 求a+b的值；
（Ⅱ）設函數g（x）=﹣x2﹣ax﹣b，若對于x≥a均有g（x）＜f（x），求a的取值范圍．
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