Question

在（3x-2y）²⁰的展開式中，
求：（1）二項式系數(shù)最大的項；
（2）系數(shù)絕對值最大的項；
（3）系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析：（1）利用展開式中中間項的二項式系數(shù)最大，判斷出第11項的二項式系數(shù)最大；利用二項展開式的通項公式求出第11項．
（2）根據(jù)最大的系數(shù)絕對值大于等于其前一個系數(shù)絕對值；同時大于等于其后一個系數(shù)絕對值；列出不等式求出系數(shù)絕對值最大的項．
（3）據(jù)系數(shù)正負(fù)交替出現(xiàn)，故求系數(shù)最大的項，只需研究奇數(shù)項的系數(shù)即可；據(jù)最大的系數(shù)大于等于其前一個系數(shù)同時大于等于其后一個系數(shù)；列出不等式求出系數(shù)最大的項．

解答：解：（1）二項式系數(shù)最大的項是第11項，
T₁₁=C₂₀¹⁰3¹⁰（-2）¹⁰x¹⁰y¹⁰=C₂₀¹⁰6¹⁰x¹⁰y¹⁰．
（2）設(shè)系數(shù)絕對值最大的項是第k+1項，于是

C k 20 •320-k•2k≥ C k+1 20 •319-k•2k+1 C k 20 •320-k•2k≥ C k-1 20 •321-k•2k-1

，
化簡得

3(k+1)≥2(20-k) 2(21-k)≥3k

，
解得7

2

5

≤k≤8

2

5

．
所以k=8，即T₉=C₂₀⁸3¹²•2⁸•x¹²y⁸是系數(shù)絕對值最大的項．
（3）由于系數(shù)為正的項為奇數(shù)項，故可設(shè)第2k-1項系數(shù)最大，于是

C 2k-2 20 •322-2k•22k-2≥ C 2k-4 20 •324-2k•2k-4 C 2k-2 20 •322-2k•22k-2≥ C 2k 20 •320-2k•22k

，
化簡得

10k2+143k-1007≤0 10k2+163k-924≥0

．
又k為不超過11的正整數(shù)，可得k=5，即第2×5-1=9項系數(shù)最大，T₉=C₂₀⁸•3¹²•2⁸•x¹²•y⁸．

點評：本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)：中間項的二項式系數(shù)最大、考查二項展開式的通項公式、考查求系數(shù)最大項的方法．