Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓的離心率，過點和的直線與原點的距離為。⑴求橢圓的方程；⑵已知定點，若直線與橢圓交于兩點，問：是否存在的值，使以為直徑的圓過點？請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓的方程為；（2）存在使得以CD為直徑的圓過點E。

【解析】

試題分析：（1）直線方程為

依題意可得： 解得：

∴橢圓的方程為

（2）假設存在這樣的值。

由 得

∴

設

而

要使以為直徑的圓過點，當且僅當時

則

即

將（2）代入（3）整理得

經驗證使得（1）成立

綜上可知，存在使得以CD為直徑的圓過點E。

考點：本題考查了橢圓方程的求法及直線與橢圓的位置關系

點評：圓錐曲線的問題一般來說計算量大，對運算能力要求很高，尋求簡潔、合理的運算途徑很重要，在解答時注意以下的轉化：⑴若直線與圓錐曲線有兩個交點，對待交點坐標是“設而不求”的原則，要注意應用韋達定理處理這類問題 ； ⑵與弦的重點有關問題求解常用方法一韋達定理法 二 點差法；