Question

已知函數f(x)=

a

3

x3-

1

2

(a+1)x2+x-

1

3

．
（1）若函數f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線方程為9x-y+b=0，求實數a，b的值；
（2）若a≤0，求f（x）的單調減區間；
（3）對一切實數a∈（0，1），求f（x）的極小值的最大值．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用函數f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線方程為9x-y+b=0，即可求實數a，b的值；
（2）分類討論，利用導數小于0，可得f（x）的單調減區間；
（3）求導數，確定f（x）的極小值，對一切實數a∈（0，1），利用配方法，即可求f（x）的極小值的最大值．

解答：解：（1）f′（x）=ax²-（a+1）x+1（a∈R），…（1分）
由f′（2）=9，得a=5．，…（2分）
∴f(x)=

5

3

x3-3x2+x-

1

3

∴f（2）=3，
∴（2，3）在直線9x-y+b=0上，
∴b=-15．          …（4分）
（2）①若a=0，f(x)=-

1

2

x2+x-

1

3

=-

1

2

(x-1)2+

1

6

，
∴f（x）的單調減區間為（1，+∞）．                     …（6分）
②若a＜0，則f′(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-

1

a

)(x-1)，x∈R，
令f′（x）＜0，得(x-

1

a

)(x-1)＞0．∴x＜

1

a

，或x＞1．    …（9分）
∴f（x）的單調減區間為(-∞，

1

a

)，（1，+∞）．             …（10分）
（3）f′(x)=a(x-1)(x-

1

a

)，0＜a＜1，
列表：

x	（-∞，1）	1	（1， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

…（12分）
∴f（x） 的極小值為f(

1

a

)=

a

3

•

1

a3

-

1

2

(a+1)

1

a2

+

1

a

-

1

3

=-

1

6

•

1

a2

+

1

2

•

1

a

-

1

3

=-

1

6

(

1

a

-

3

2

)2+

1

24

．                 …（14分）
當a=

2

3

時，函數f（x）的極小值f（

1

a

）取得最大值為

1

24

．   …（16分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數得到單調性，考查函數的極值，屬于中檔題．