Question

合肥一中生活區內建有一塊矩形休閑區域ABCD，AB=100米，BC=50

3

米，為了便于同學們平時休閑散步，學校后勤部門將在這塊區域內鋪設三條小路OE、EF和OF，考慮到學校整體規劃，要求O是AB的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，且OE⊥OF，如圖所示．
（1）設∠BOE=α，試將△OEF的周長L表示成α的函數關系式，并求出此函數的定義域；
（2）經核算，三條路每米鋪設費用均為800元，試問如何設計才能使鋪路的總費用最低？并求出最低總費用．

Answer 1

考點：根據實際問題選擇函數類型

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（1）在直角三角形中寫出三邊長的公式，從而得到周長公式，根據題意寫出定義域即可；
（2）利用換元法，設t=sinα+cosα，α∈[

π

6

，

π

3

]，從而得到l=

50(t+1)

t2-1 2

=

100

t-1

∈[100(

2

+1)，100(

3

+1)]，從而求最小值．

解答： 解：（1）在Rt△BOE中，OE=

50

cosα

，
在Rt△AOF中，OF=

50

sinα

在Rt△OEF中，EF=

50

sinαcosα

，
當點F在點D時，角α最小，α=

π

6

，
當點E在點C時，角α最大，α=

π

3

，
則l=

50(sinα+cosα+1)

sinαcosα

，
定義域為[

π

6

，

π

3

]．
（2）設t=sinα+cosα，α∈[

π

6

，

π

3

]，
則

3 +1

2

≤t≤

2

，
l=

50(t+1)

t2-1 2

=

100

t-1

∈[100(

2

+1)，100(

3

+1)]．
則當α=

π

4

時，lmin=100(

2

+1)，
總費用最低為80000(

2

+1)元．

點評：本題考查了學生將實際問題轉化為數學問題的能力及最值的求法，屬于中檔題．