Question

已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且f（x+1）和f（x-1）都是奇函數(shù)．對x∈R有以下結(jié)論：
①f（x+2）=f（x）；
②f（x+3）=f（x）；
③f（x+4）=f（x）；
④f（x+2）是奇函數(shù)；
⑤f（x+3）是奇函數(shù)．
其中一定成立的有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：利用f（x+1）是奇函數(shù)與f（x-1）是奇函數(shù)，可證明函數(shù)是周期函數(shù)；結(jié)合周期函數(shù)的性質(zhì)來判斷①②③是否正確；
根據(jù)函數(shù)是否滿足f（x+a）=-f（-x+a），來判斷④⑤的正確性．

解答：解：∵f（x+1）和f（x-1）都是奇函數(shù)，∴f（-x+1）=-f（x+1）；f（-x-1）=-f（x-1）．
f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f[-（x+1）+1]=-f（-x）=-f[-（x-1）-1]=f[（x-1）-1]=f（x-2）；
∴f（x+2）=f（x）∴①不成立；
∵f（x+3）=f[（x+2）+1]=-f[-（x+2）+1]=-f（-x-1）=f（x-1）；∴②不成立；
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=f[（x+2）-2]=f（x），函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，③成立；
∵f（x+2）=-f（-x），∴④不成立；
∴f（x+3）=f[（x+2）+1]=-f[-（x+2）+1]=-f（-x-1）=-f（-x+3）．∴f（x+3）是奇函數(shù)．⑤成立．
故選B

點(diǎn)評：本題借助考查命題的真假判定 考查抽象函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．正確理解f（x+1）和f（x-1）都是奇函數(shù)是關(guān)鍵．