Question

16．已知直線l：y=k（x+1）+$\sqrt{3}$與圓x²+y²=4交于A、B兩點，過A、B分別做l的垂線與x軸交于C、D兩點，若|AB|=4，則|CD|=8．

Answer 1

分析 根據直線與圓相交，圓x²+y²=4可知：圓心為（0，0），半徑r=2，弦長為|AB|=4=2r，說明直線l過圓心O所以可以得到直線AB的傾斜角，求出|OC|，即可得到|CD|的長度．

解答 解：由圓的方程x²+y²=4可知：圓心為（0，0），半徑r=2．
∵弦長為|AB|=4=2r，
∴可以得知直線l經過圓心O．
∴0=k（0+1）+$\sqrt{3}$，解得k=-$\sqrt{3}$，
∴直線AB的方程為：y=-$\sqrt{3}$x，
設直線AB的傾斜角為θ，則tanθ=-$\sqrt{3}$，
∴θ=120°，
∴在Rt△AOC中：|CO|=$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=4，
那么：|CD|=2|OC|=8，
故答案為：8．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．