Question

已知函數
（1）若且函數在區間上存在極值，求實數的取值范圍；
（2）如果當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

(1)；（2）

試題分析：（1）要求參數的取值范圍，需要研究函數的單調性問題，∵，則，當時，；當時，.∴在上單調遞增；在上單調遞減，∴在處取得極大值.而函數在區間上存在極值，則函數在區間（其中）上存在極值，∴，解得；（2）對于恒成立問題，最常用的方法是分離參數，，構造函數，只需求出的最小值，應該求導研究，令，則，當，
∴在上單調遞增，∴，從而，故在上單調遞增，∴，所以.
試題解析：（1）∵，則
當時，；當時，.
∴在上單調遞增；在上單調遞減，
∴在處取得極大值.
∵函數在區間（其中）上存在極值，
∴，解得.
不等式，即為，令，
則，令，則，當，
∴在上單調遞增，∴，從而，
故在上單調遞增，∴，所以.