Question

我們把焦點相同，且離心率互為倒數的橢圓和雙曲線稱為一對“黃金搭檔”．已知F₁、F₂是一對“黃金搭檔”的焦點，P是它們在第一象限的交點，當∠F₁PF₂=60°時，這一對“黃金搭檔”中雙曲線的離心率是    ．

Answer 1

【答案】分析：設F₁P=m，F₂P=n，F₁F₂=2c，由余弦定理4c²=m²+n²-mn，設a₁是橢圓的長半軸，a₁是雙曲線的實半軸，由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a₁，m-n=2a₁，由此能求出結果．
解答：解：設F₁P=m，F₂P=n，F₁F₂=2c，
由余弦定理得（2c）²=m²+n²-2mncos60°，
即4c²=m²+n²-mn，
設a₁是橢圓的實半軸，a₂是雙曲線的實半軸，
由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a₁，m-n=2a₂，
∴m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
將它們及離心率互為倒數關系代入前式得a₁²-4a₁a₂+a12=0，
a₁=3a₂，e₁•e₂==1，
解得e₂=．
故答案為：．
點評：本題考查雙曲線和橢圓的簡單性質，解題時要認真審題，注意正確理解“黃金搭檔”的含義．