Question

如圖，四邊形ABCD的外接圓為⊙O，EA是⊙O的切線，CB的延長線與EA相交于點E，AB=AD．求證：AB²=BE•CD．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：立體幾何

分析：連結AC．由EA是⊙O的切線，根據弦切角定理可得∠EAB=∠ACB，由AB=AD．可得∠ACD=∠ACB，進而∠ACD=∠EAB，結合圓內接四邊形的性質及相似三角形的判定定理，可得△CDA∽△ABE，進而根據相似三角形性質，可得AB•DA=BE•CD，最后得到AB²=BE•CD．

解答： 證明：連結AC．
∵EA是⊙O的切線，
∴∠EAB=∠ACB．
∵AB=AD，
∴∠ACD=∠ACB．
∴∠ACD=∠EAB．
∵⊙O是四邊形ABCD的外接圓，
∴∠D=∠ABE．
∴△CDA∽△ABE．
∴

CD

AB

=

DA

BE

，即AB•DA=BE•CD．
∵AB=AD，
∴AB²=BE•CD．

點評：本題考查平面幾何中的三角形相似以及圓的相關知識，考查推理論證能力，難度不大，屬于基礎題．作輔助線往往是解答平面幾何證明的關鍵，本題也不例外．