Question

已知圓A：x²＋y²＋2x＋2y－2＝0，若圓B平分圓A的周長，且圓B的圓心在直線l：y＝2x上，求滿足上述條件的半徑最小的圓B的方程．

Answer 1

[解析]　解法一：設圓B的半徑為r，∵圓B的圓心在直線l：y＝2x上，∴圓B的圓心可設為(t,2t)，則圓B的方程是(x－t)²＋(y－2t)²＝r²，即x²＋y²－2tx－4ty＋5t²－r²＝0.　①

∵圓A的方程x²＋y²＋2x＋2y－2＝0.　②

∴②－①，得兩圓的公共弦方程(2＋2t)x＋(2＋4t)y－5t²＋r²－2＝0.　③

又∵圓B平分圓A的周長，∴圓A的圓心(－1，－1)必在公共弦上，于是，將x＝－1，y＝－1代入方程③，

并整理得：r²＝5t²＋6t＋6＝5²＋≥，所以t＝－時，r_min＝.

此時，圓B的方程是²＋²＝.

解法二：如圖，設圓A、圓B的圓心分別為A、B.則A(－1，－1)，B在直線l：y＝2x上，連結AB，過A作MN⊥AB，且MN交圓于M、N兩點．∴MN為圓A的直徑．

∵圓B平分圓A，∴只需圓B經過M、N兩點．

∵圓A的半徑是2，設圓B的半徑為r，

∴r＝|MB|＝＝.

欲求r的最小值，只需求|AB|的最小值．

∵A是定點，B是l上的動點，

∴當AB⊥l，即MN∥l時，|AB|最小．

于是，可求得B，r_min＝，

故圓B的方程是²＋²＝.