Question

已知圓C：x²-2ax+y²-10y+a²=0（a＞0）截直線x+y-5=0的弦長為5

2

；
（1）求a的值；
（2）求過點P（10，15）的圓的切線所在的直線方程．

Answer 1

分析：（1）圓方程化為標準方程，求出圓心到直線的距離，利用弦長為5

2

，即可求a的值；
（2）分類討論，設出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求過點P（10，15）的圓的切線所在的直線方程．

解答：解：（1）圓C：x²-2ax+y²-10y+a²=0（a＞0）可化為（x-a）²+（y-5）²=25
∵圓C：x²-2ax+y²-10y+a²=0（a＞0）截直線x+y-5=0的弦長為5

2

，
∴圓心C（a，5）到直線x+y-5=0的距離為d=

|a|

2

=

52-( 5 2 2 )2

=

5 2

2

，
∴a=5，（x-5）²+（y-5）²=25；
（2）若切線斜率不存在，x=10，符合
若切線斜率存在，設y-15=k（x-10），即kx-y+15-10k=0
∴d=

|5k+10-10k|

k2+1

=5
∴k=

3

4

∴切線：y=

3

4

x+

15

2

或x=10．

點評：本題考查圓的方程，考查圓中弦長的計算，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．