Question

x，y，z為非負(fù)數(shù)，且x+y+z=1，求證：yz+zx+xy≤9xyz．

Answer 1

分析：先對(duì)x，y，z中有0時(shí)進(jìn)行驗(yàn)證滿足條件；當(dāng)x，y，z都非零時(shí)，一定有xyz＞0成立，故可得到

yz+zx+xy

9xyz

=

1

9x

+

1

9y

+

1

9z

=（

1

9

+

1

9

+

1

9

）+（

y

9x

+

x

9y

）+（

z

9x

+

x

9z

）+（

z

9y

+

y

9z

），再根據(jù)均值不等式可得證．

解答：證明：當(dāng)x，y，z中有1個(gè)或2個(gè)是0時(shí)，不等式成立；
當(dāng)x，y，z都是正數(shù)時(shí)，xyz＞0，
所以

yz+zx+xy

9xyz

=

1

9x

+

1

9y

+

1

9z

=

x+y+z

9x

+

x+y+z

9y

+

x+y+z

9z

=（

1

9

+

1

9

+

1

9

）+（

y

9x

+

x

9y

）+（

z

9x

+

x

9z

）+（

z

9y

+

y

9z

）
≥

1

3

+2×

1

9

+2×

1

9

+2×

1

9

=1（當(dāng)x=y=z=

1

3

時(shí)等號(hào)成立）
∴yz+zx+xy≤9xyz
得證．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查均值不等式的應(yīng)用．均值不等式在不等式的證明以及求解范圍時(shí)應(yīng)用比較廣泛，占據(jù)非常重要的地位，要熟練掌握．