Question

(本小題滿分14分)

已知函數.（）

（Ⅰ）若函數有三個零點，且，，求函數 的單調區間；

（Ⅱ）若，，試問：導函數在區間(0，2)內是否有零點，并說明理由.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若導函數的兩個零點之間的距離不小于，求的取值范圍.

Answer 1

解（I）因為，又，

則   （1分）

因為x₁，x₃是方程的兩根，則

，，.即        （3分）

從而：，ks*5u

所以.  ks*5u

令    解得：                               （4分）

當時，的單調遞減區間是（1，4），單調遞增區間是 。     

當時，的單調遞增區間是（1，4），單調遞減區間是（6分）

（Ⅱ）因為，，所以，即.

因為，所以，即.        （7分）

于是，，. (8分）

（1）當時，因為，

則在區間內至少有一個零點.         （9分）

（2）當時，因為，

則在區間（1，2）內至少有一零點.

故導函數在區間(0，2)內至少有一個零點.           （10分）

（Ⅲ）設m，n是導函數的兩個零點，則，.

所以.

由已知，，則，即.

所以，即或.                （12分）ks*5u

又，，所以，即.

因為，所以.  ks*5u

綜上分析，的取值范圍是.                           （14分）