Question

設奇函數f（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（0+∞），且在（0，+∞）上為增函數．
（1）若f（1）=0，解關于x的不等式：f（1+log_ax）＞0（0＜a＜1）．
（2）若f（﹣2）=﹣1，當m＞0，n＞0時，恒有f（mn）=f（m）+f（n），求|f（t）+1|＜1時，t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵奇函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，則在（﹣∞，0）也單調遞增
∵f（1）=﹣f（﹣1）=0
∴f（﹣1）=0
當x＞1或﹣1＜x＜0時，f（x）＞0；
當0＜x＜1或x＜﹣1時，f（x）＜0
∵f（1+log_ax）＞0
∴1+log_ax＞1或﹣1＜1+log_ax＜0
∵0＜a＜1
∴0＜x＜1或a﹣1＜x＜2﹣2
（2）∵f（﹣2）=﹣1
∴f（2）=﹣f（﹣2）=1
∵m＞0，n＞0時，恒有f（mn）=f（m）+f（n），
∴f（4）=2f（2）=2，f（﹣4）=﹣2，f（1）=2f（1），
則f（1）=﹣f（﹣1）=0
∵|f（t）+1|＜1
∴﹣2＜f（t）＜0
∴﹣4＜t＜﹣1