Question

設函數f（x）=|

x

-1|，若0≤a＜b，且f（a）=f（b），則a+b的取值范圍是（　　）

A．（1，4]

B．（2，4]

C．（1，+∞）

D．（2，+∞）

Answer 1

分析：由題意可得0＜a＜1，且  b＞1，

a

+

b

=2．利用基本不等式可得+b＞2，利用三角代換求得a+b≤4，由此求得a+b的取值范圍．

解答：解：∵函數f（x）=|

x

-1|，若0≤a＜b，且f（a）=f（b），∴0＜a＜1，且  b＞1，
∴1-

a

=

b

-1，故 

a

+

b

=2．
平方可得 a+b+2

ab

=4，利用基本不等式可得 2（ a+b）＞4，a+b＞2．
 令

a

=2cos²θ，

b

=2sin²θ，
則a+b=4（cos⁴θ+sin⁴θ）=4[（cos²θ+sin²θ）²-2sin²θ•cos²θ]=4-2sin²2θ≤4，
則a+b的取值范圍是 （2，4]，
故選B．

點評：本題主要考查帶有絕對值的函數，二倍角公式以及用三角代換法求函數的最值，屬于中檔題．