Question

如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且AD=DB，點C為圓O上一點，且BC=AC．點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD=DB．
（1）求證：PA⊥CD；
（2）求二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

解析：（1）連接OC，由3AD=BD知，點D為AO的中點，
又∵AB為圓的直徑，∴AC⊥BC，
∵AC=BC，∴∠CAB=60°，
∴△ACO為等邊三角形，∴CD⊥AO．
∵點P在圓O所在平面上的正投影為點D，
∴PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，
∴PD⊥CD，PD∩AO=D，
∴CD⊥平面PAB，PA?平面PAB，
∴PA⊥CD．
（2）過點D作DE⊥PB，垂足為E，連接CE，
由（1）知CD⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，
∴PB⊥平面CDE，又CE?平面CDE，
∴CE⊥PB，
∴∠DEC為二面角C-PB-A的平面角．
由（1）可知CD=，PD=BD=3，
∴PB=3，則DE==，
∴在Rt△CDE中，tan∠DEC==，
∴cos∠DEC=，即二面角C-PB-A的余弦值為．
分析：（1）先利用平面幾何知識與線面垂直的性質證線線垂直，由線線垂直?線面垂直，再由線面垂直?線線垂直；
（2）通過作出二面角的平面角，證明符合定義，再在三角形中求解．
點評：本題考查線線垂直的判定、二面角的平面角及求法．二面角的求法：法1、作角（根據定義作二面角的平面角）--證角（符合定義）--求角（解三角形）；
法2、空間向量法，求得兩平面的法向量，再利用向量的數量積公式求夾角的余弦值．