Question

已知函數f(x)=|x-a|-

a

2

lnx，a∈R．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）有兩個零點x₁，x₂，（x₁＜x₂），求證：1＜x₁＜a＜x₂＜a²．

Answer 1

分析：（1）先求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區間為單調增區間，fˊ（x）＜0的區間為單調減區間．
（2）由（1）知，當a≤0時，函數f（x）單調遞增，函數至多只有一個零點，不合題意；則必有a＞0，此時函數f（x）的單調遞減區間為（0，a）；單調遞增區間為（a，+∞），進一步得出x₁∈（1，a）和x₂∈（a，a²），從而得出答案．

解答：解：（1）由題意，函數的定義域為（0，+∞），
當a≤0時，f(x)=|x-a|-

a

2

lnx=x-a-

a

2

lnx，f′(x)=1-

a

2x

＞0，
函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），…3分
當a＞0時，f(x)=|x-a|-

a

2

lnx=

x-a- a 2 lnx  ，x≥a a-x- a 2 lnx，  0＜x＜a

，…5分
若x≥a，f′(x)=1-

a

2x

=

2x-a

2x

＞0，此時函數f（x）單調遞增，
若x＜a，f′(x)=-1-

a

2x

＜0，此時函數f（x）單調遞減，
綜上，當a≤0時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）；
當a＞0時，函數f（x）的單調遞減區間為（0，a）；單調遞增區間為（a，+∞）． …7分
（2）由（1）知，當a≤0時，函數f（x）單調遞增，
此時函數至多只有一個零點，不合題意；                      …8分
則必有a＞0，此時函數f（x）的單調遞減區間為（0，a）；單調遞增區間為（a，+∞），
由題意，必須f(a)=-

a

2

lna＜0，解得a＞1，…10分
由f(1)=a-1-

a

2

ln1=a-1＞0，f（a）＜0，
得x₁∈（1，a），…12分
而f（a²）=a²-a-alna=a（a-1-lna），
下面證明：a＞1時，a-1-lna＞0
設g（x）=x-1-lnx，x＞1
則g′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，
所以g（x）在x＞1時遞增，則g（x）＞g（1）=0，
所以f（a²）=a²-a-alna=a（a-1-lna）＞0，
又f（a）＜0，
所以x₂∈（a，a²），
綜上，1＜x₁＜a＜x₂＜a²．                     …16分

點評：本題考查了函數的單調性、根的存在性及根的個數判斷．利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定函數的定義域；（2）求導數fˊ（x）；（3）在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數的單調區間．若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．