Question

已知函數．

（Ⅰ）當時，求曲線在原點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，討論函數在區間上的單調性；

（Ⅲ）證明不等式對任意成立．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．

（Ⅱ）函數在區間單調遞減，在區間上單調遞增．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時， 在區間上單調遞增；

從而可得，

得到對任意成立．

通過取，，得，．

將上述n個不等式求和,得到:，

證得對任意成立．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先求，切線的斜率，求得切線方程.

（Ⅱ）當時，根據，只要考查的分子的符號．

通過討論，得時在區間上單調遞增；

當時，令求得其根． 利用“表解法”得出結論：函數在區間單調遞減，在區間上單調遞增．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時， 在區間上單調遞增；

從而可得，

得到對任意成立．

通過取，，得，．

將上述n個不等式求和,得到:，

證得對任意成立．

試題解析：．

（Ⅰ）當時，，切線的斜率，

所以切線方程為，即．                   3分

（Ⅱ）當時，因為，所以只要考查的符號．

由，得，

當時，，從而，在區間上單調遞增；

當時，由解得．       6分

當變化時，與的變化情況如下表：

函數在區間單調遞減，在區間上單調遞增．        9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時， 在區間上單調遞增；

所以，

即對任意成立．               11分

取，，

得，即，．  13分

將上述n個不等式求和,得到:，

即不等式對任意成立．         14分

考點：1、導數的幾何意義，2、應用導數研究函數的單調性、3、證明不等式.