Question

如圖，長方形物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻速移動，速度為v（v＞0），物體E移動時單位時間內的淋雨量包括兩部分：
①P或P的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，設其值與|v-4|×S成正比，比例系數為；
②其它面的淋雨量之和，其值為，記y為物體E移動過程中的總淋雨量，當移動距離d=100，面積S=時．
（Ⅰ）寫出y的表達式；
（Ⅱ）設0＜v≤10，試確定移動速度v，使總淋雨量y最少．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）E移動時的總淋雨量應該等于單位時間內的淋雨量乘以所用的時間，可先求出單位時間內的淋雨量的式子，再乘以時間即可；
（Ⅱ）根據絕對值的性質，將（Ⅰ）中的函數分解為分段函數的形式，再由v的不同取值范圍討論函數的單調性，在不同的情況下，單調區間不同，總淋雨量最小值對應的v值也不同．
解答：解：（I）由題意知，E移動時單位時間內的淋雨量為，…（3分）
故=．…（6分）
（II）由（I）知，當0＜v≤4時，=
當4＜v≤10時，=
故．…（10分）
在（0，4]上，y是關于v的減函數；在（4，10]上，y是關于v的增函數；  …（12分）
則當v=4時，．
故移動速度v=4時，使總淋雨量y最少．…（14分）
點評：本題著重考查函數應用能力，所建立的函數式為含有絕對值的式子．解決問題的關鍵一是要能根據v的范圍將式子化簡為分段函數，二是要將常數v進行討論得出函數的單調性，從而得出不同情形下的最小值點．