Question

（2013•寧波二模）設函數f（x）=lnx+ax²-（3a+1）x+（2a+1），其中a∈R．
（Ⅰ）如果x=1是函數f（x）的一個極值點，求實數a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）求實數a的值，使得函數f（x）同時具備如下的兩個性質：
①對于任意實數x₁，x₂∈（0，1）且x₁≠x₂，

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)恒成立；
②對于任意實數x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函數的定義域、導數f′（x），由題意f'（1）=0，解出可得a值，在定義域內解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，可得f（x）的單調性，根據單調性可得其最大值；
（Ⅱ）令F(x1，x2)=

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

a

4

(x1-x2)2-

1

2

ln(

(x1+x2)2

4x1x2

)，由（Ⅰ）中的結論可得對任意x∈（0，1）∪（1，+∞），lnx＜x-1（*）恒成立．（ⅰ）如果x₁，x₂∈（0，1），且x₁≠x₂，則

(x1+x2)2

4x1x2

=1+

(x1-x2)2

4x1x2

＞1．根據（*）可得ln(

(x1+x2)2

4x1x2

)＜

(x1-x2)2

4x1x2

，F(x1，x2)＞

a

4

(x1-x2)2-

1

2

•

(x1-x2)2

4x1x2

．由性質①轉化為恒成立問題，可得a的范圍；（ⅱ）如果x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，則0＜

4x1x2

(x1+x2)2

=1-

(x1-x2)2

(x1+x2)2

＜1．再根據（*）進行放縮，由性質②可得恒成立問題，由此可得a的范圍，綜合（i）（ii）可得a的范圍；

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域是（0，+∞），f′(x)=

1

x

+2ax-(3a+1)，
依題意，f'（1）=1+2a-（3a+1）=0，解得a=0．   
此時，f（x）=lnx-x+1，f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

．
因為x∈（0，+∞），令f'（x）＞0，可得x∈（0，1）；令f'（x）＜0，可得x∈（1，+∞）．
所以，函數f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減． 
因此，當x=1時，f（x）取得最大值f（1）=0．    
（Ⅱ）令F(x1，x2)=

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)
=

1

2

(lnx1+lnx2)-ln(

x1+x2

2

)+

a

2

(

x

2 1

+

x

2 2

)-a(

x1+x2

2

)2=

a

4

(x1-x2)2-

1

2

ln(

(x1+x2)2

4x1x2

)，
由（Ⅰ）中的結論可知，lnx-x+1＜0對任意x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，即lnx＜x-1（*）恒成立．                    
（ⅰ）如果x₁，x₂∈（0，1），且x₁≠x₂，則

(x1+x2)2

4x1x2

=1+

(x1-x2)2

4x1x2

＞1．
根據（*）可得ln(

(x1+x2)2

4x1x2

)＜

(x1-x2)2

4x1x2

，F(x1，x2)＞

a

4

(x1-x2)2-

1

2

•

(x1-x2)2

4x1x2

．
若f（x）滿足性質①，則

a

4

(x1-x2)2-

1

2

•

(x1-x2)2

4x1x2

＜F(x1，x2)＜0恒成立，
于是

a

4

＜

1

8x1x2

對任意x₁，x₂∈（0，1）且x₁≠x₂恒成立，所以a≤

1

2

．
（ⅱ）如果x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，則0＜

4x1x2

(x1+x2)2

=1-

(x1-x2)2

(x1+x2)2

＜1．
根據（*）可得ln(

4x1x2

(x1+x2)2

)＜-

(x1-x2)2

(x1+x2)2

?ln(

(x1+x2)2

4x1x2

)＞

(x1-x2)2

(x1+x2)2

，
則F（x₁，x₂）＜

a

4

(x1-x2)2-

1

2

•

(x1-x2)2

(x1+x2)2

．若f（x）滿足性質②，則

a

4

(x1-x2)2-

1

2

•

(x1-x2)2

(x1+x2)2

＞F(x1，x2)＞0恒成立．
于是

a

4

＞

1

2(x1+x2)2

對任意x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂恒成立，所以a≥

1

2

．
綜合（ⅰ）（ⅱ）可得，a=

1

2

．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值、最值問題，考查恒成立問題，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力，解決（Ⅱ）問的關鍵是借助（Ⅰ）中的結論得到恰當不等式．