Question

如圖，在直角坐標系xOy中，△A_iB_iA_i+1（i=1，2，…，n，…）為正三角形，．
（1）求證：點B₁，B₂，…，B_n，…在同一條拋物線上，并求該拋物線C的方程；
（2）設直線l過坐標原點O，點B₁關于l的對稱點B′在y軸上，求直線l的方程；
（3）直線m過（1）中拋物線C的焦點F并交C于M、N，若，拋物線C的準線n與x軸交于E，求證：的夾角為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設B_n（x，y），先根據圖形中三角形求得其坐標x，y，消去n得到x，y的關系，是一個拋物線方程，從而證得點B₁，B₂，…，B_n，…在同一條拋物線上；
（2）由（1）得出B1的坐標，從而寫出線段OB1的長度，再結合對稱性求得對稱點的坐標，最后根據直線的兩點式方程寫出直線方程即可；
（3）先設M，N在直線n上的射影為M'，N'，利用向量的運算證得向量：互相垂直，從而得出：的夾角為定值．
解答：解：（1）設B_n（x，y），則

（2）由（1）得，

（3）設M，N在直線n上的射影為M'，N'，
則有：．

點評：本小題主要考查拋物線的定義、向量在幾何中的應用、直線與圓錐曲線的關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．