Question

如圖，吊車的車身高為m米（包括車輪的高度），吊臂長n米，現要把一個直徑為6米，高為3米的圓柱形屋頂水平地吊到屋基上安裝，在安裝過程中屋頂不能傾斜（注：在吊臂的旋轉過程中可以靠吊起屋頂的纜繩的伸縮使得屋頂保持水平狀態）．
（1）設吊臂與水平面的傾斜角為α，屋頂底部與地面間的距離最大為h米，此時如圖所示，屋頂上部與吊臂有公共點，試將h表示為α函數，并寫出定義域；
（2）若某吊車的車身高為2.5米，吊臂長24米，使用該吊車將屋頂吊到14米的屋基上，能否吊裝成功？

Answer 1

分析：（1）如圖，把吊臂頂到地面的距離用兩種方式表示出來，得nsinα+m=h+3+3tanα整理即得h關于角α的函數．
（2）代入數據，整理出函數關系式，求導研究其單調性，求最值，驗證其與屋頂高度的大小．

解答：解：（1）由已知得nsinα+m=h+3+3tanα
得h=nsinα-3tanα+m-3（0＜α＜

π

2

）（6分）
（2）由已知得∴h=24sinα-3tanα-

1

2

(0＜α＜

π

2

).（7分）
求導得h′(α)=24cosα-

3

cos2α

=

24(cos3α- 1 8 )

cos2α

=0.（10分）
∴cosα=

1

2

.∴α=

π

3

，且h′（α）在α=

π

3

處左正右負，（12分）
∴[h(α)]max=h(

π

3

)=9

3

-

1

2

＞9×1.7-

1

2

=14.8＞14.（15分）
答：可以吊裝成功．（16分）

點評：考查實際背景下建立函數關系解決實際問題的能力．