Question

設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F₁、F₂，線段OF₁、OF₂的中點分別為B₁、B₂，且△AB₁B₂是面積為4的直角三角形．過B₁作直線l交橢圓于P、Q兩點．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）若PB₂⊥QB₂，求直線l的方程；
（3）設直線l與圓O：x²+y²=8相交于M、N兩點，令|MN|的長度為t，若t∈[4，]，求△B₂PQ的面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設所求橢圓的標準方程為，右焦點為F₂（c，0）．已知△AB₁B₂是直角三角形，又|AB₁|=|AB₂|，故∠B₁AB₂=90°，可得c=2b，在Rt△AB₁B₂中，，從而a²=b²+c²=20．即可得到橢圓的方程．
（2）由（1）得B₁（-2，0），可設直線l的方程為x=my-2，代入橢圓的方程，得到根與系數的關系，利用PB₂⊥QB₂，?，即可得到m．
（3）當斜率不存在時，直線l：x=-2，此時|MN|=4，，當斜率存在時，設直線l：y=k（x+2），利用點到直線的距離公式可得圓心O到直線l的距離，可得t=，得k的取值范圍；把直線l的方程代入橢圓的方程點到根與系數的關系，代入|B₁B₂|×|y₁-y₂|，再通過換元，利用二次函數的單調性即可得出S的取值范圍．
解答：解：（1）設所求橢圓的標準方程為，右焦點為F₂（c，0）．
因△AB₁B₂是直角三角形，又|AB₁|=|AB₂|，故∠B₁AB₂=90°，得c=2b，
在Rt△AB₁B₂中，，從而a²=b²+c²=20．
因此所求橢圓的標準方程為：．
（2）由（1）得B₁（-2，0），可設直線l的方程為x=my-2，代入橢圓的方程．化為（5+m²）y²-4my-16=0．
設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），則，，
又，B₂P⊥B₂Q，
所以=（m²+1）y₁y₂-4m（y₁+y₂）+16===0，
∴m²=4，解得m=±2；
所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為：x+2y+2=0和x-2y+2=0．
（3）當斜率不存在時，直線l：x=-2，此時|MN|=4，，
當斜率存在時，設直線l：y=k（x+2），則圓心O到直線l的距離，
因此t=，得，
聯立方程組：得（1+5k²）y²-4ky-16k²=0，
由韋達定理知，，
所以，
因此．
設，所以，所以，
綜上所述：△B₂PQ的面積．
點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、弦長公式、三角形的面積計算公式、點到直線的距離公式、二次函數的單調性等基礎知識與基本技能，考查了推理能力、計算能力．