Question

設(shè)函數(shù)f(x)=ax+（a,b∈Z），曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)（2，f（2））處的切線(xiàn)方程為y=3.

（1）求f（x）的解析式；

（2）證明：曲線(xiàn)y=f(x)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)與直線(xiàn)x=1和直線(xiàn)y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值.

Answer 1

（1）f(x)=x+（2）證明見(jiàn)解析

解析:

(1)解  f′(x)=a-,

于是解得或

因?yàn)閍,b∈Z,故f(x)=x+.

(2)證明  在曲線(xiàn)上任取一點(diǎn)（x₀,x₀+）,

由f′(x₀)=1-知,過(guò)此點(diǎn)的切線(xiàn)方程為

y-=(x-x₀).

令x=1,得y=,

切線(xiàn)與直線(xiàn)x=1的交點(diǎn)為;

令y=x,得y=2x₀-1,

切線(xiàn)與直線(xiàn)y=x的交點(diǎn)為(2x₀-1,2x₀-1);

直線(xiàn)x=1與直線(xiàn)y=x的交點(diǎn)為(1,1),

從而所圍三角形的面積為

|2x₀-1-1|=|2x₀-2|=2.

所以,所圍三角形的面積為定值2.