Question

【題目】過點作已知直線的平行線，交雙曲線于點.

（1）證明：Q是線段MN的中點；

（2）分別過點M、N作雙曲線的切線，證明：三條直線相交于同一點；

（3）設為直線上一動點，過作雙曲線的切線，切點分別為，證明：點Q在直線AB上.

Answer 1

【答案】（1）見解析；(2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）直線MN的方程為.

代入雙曲線方程，得.

設、，則是方程的兩根，故.

于是，.

故是線段MN的中點.

（2）雙曲線的過點M、N的切線方程分別為

，.

兩式相加并將，代入得.

這說明，直線的交點在直線上，即三直線相交于同一點.

（3）設、、，則PA、PB的方程分別為

和.

因為點P在兩條直線上，所以，

，

這表明，點A、B都在直線上，即直線AB的方程為.

又，代入整理得

顯然，無論取什么值（即無論P為直線l上哪一點），點Q（-1，-1）都在直線AB上.