Question

已知函數f(x)=

a

3

x3+

1

2

x2-(a-1)x+1．
（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線與直線6x+y+1=0平行，求出這條切線的方程；
（2）當a＞0時，求：
①討論函數f（x）的單調區間；
②對任意的x＜-1，恒有f（x）＜1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導數，可得切線的斜率，從而可求切線的方程；
（2）①求導數，分類討論，利用導數的正負，可得函數的單調區間；
②分類討論，求得函數的最大值，根據對任意的x＜-1，恒有f（x）_max＜1，即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）f'（x）=ax²+x-a+1，得切線斜率為k=f'（2）=3a+3---------（2分）
據題設，k=-6，所以a=-3，故有f（2）=3----------------------------（3分）
所以切線方程為y-f（2）=-6（x-2），即6x+y-15=0------------------------（4分）
（2）①f′(x)=ax2+x-a+1=(x+1)(ax-a+1)=a(x+1)(x-

a-1

a

)
若0＜a＜

1

2

，則

a-1

a

＜-1，可知函數f（x）的增區間為(-∞，

a-1

a

)和（-1，+∞），減區間為(

a-1

a

，-1)-----------------（6分）
若a=

1

2

，則f′(x)=

1

2

(x+1)2≥0，可知函數f（x）的增區間為（-∞，+∞）；------------（7分）
若a＞

1

2

，則

a-1

a

＞-1，可知函數f（x）的增區間為（-∞，-1）和(

a-1

a

，+∞)，減區間為(-1，

a-1

a

)-------------------------------------（9分）
②當0＜a＜

1

2

時，據①知函數f（x）在區間(-∞，

a-1

a

)上遞增，在區間(

a-1

a

，-1)上遞減，
所以，當x＜-1時，f(x)max=f(

a-1

a

)，故只需f(

a-1

a

)＜1，即

(a-1)3

3a2

+

(a-1)2

2a2

-

(a-1)2

a

＜0
顯然a≠1，變形為

a-1

3a2

+

1

2a2

-

1

a

＜0，即

1-4a

a2

＜0，解得

1

4

＜a＜

1

2

---------（11分）
當a≥

1

2

時，據①知函數f（x）在區間（-∞，-1）上遞增，則有f(x)＜f(-1)=

2a

3

+

1

2

只需

2a

3

+

1

2

≤1，解得

1

2

≤a≤

3

4

．----------（13分）
綜上，正實數a的取值范圍是

1

4

＜a≤

3

4

--------------------------------------------（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，考查恒成立問題，屬于中檔題．