Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側面B1BCC1是正方形，M，N分別是A1B1，AC的中點，AB⊥平面BCM．

（Ⅰ）求證：平面B1BCC1⊥平面A1ABB1；

（Ⅱ）求證：A1N∥平面BCM；

（Ⅲ）若三棱柱ABC-A1B1C1的體積為10，求棱錐C1-BB1M的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）推導出AB⊥BC，BB1⊥BC，從而BC⊥平面A1ABB1，由此能證明平面B1BCC1⊥平面A1ABB1．

（Ⅱ）設BC中點為Q，連結NQ，MQ，推導出四邊形A1MQN是平行四邊形，從而A1N∥MQ，由此能證明A1N∥平面BCM．

（Ⅲ）連結A1B，根據棱柱和棱錐的體積公式，三棱錐B﹣A1B1C1的體積，棱錐C1﹣BB1M的體積，由此能求出結果．

證明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCM，BC平面BCM，∴AB⊥BC，

∵正方形B1BCC1，∴BB1⊥BC，

∵AB∩BB1=B，∴BC⊥平面A1ABB1，

∵BC平面B1BCC1，∴平面B1BCC1⊥平面A1ABB1；

（Ⅱ）設BC中點為Q，連結NQ，MQ，

∵M，N分別是A1B1，AC的中點，∴NQ∥AB，且NQ=AB，

∵AB∥A1B1，且AB=A1B1，∴NQ∥A1M，且NQ=A1M，

∴四邊形A1MQN是平行四邊形，∴A1N∥MQ，

∵MQ平面BCM，A1N

∴A1N∥平面BCM．

（Ⅲ）連結A1B，根據棱柱和棱錐的體積公式，

得到三棱錐B-A1B1C1的體積==，

∵M為A1B1的中點，

∴棱錐C1-BB1M的體積===．