Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x²-4x-5|，g（x）=k．
（1）在區(qū)間[-2，6]上畫出函數(shù)f（x）的圖象．
（2）若函數(shù)f（x）與g（x）有3個交點，求k的值；
（3）試分析函數(shù)?（x）=|x²-4x-5|-k的零點個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先去掉絕對值，將函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再分段畫出函數(shù)的圖象即可畫出在區(qū)間[-2，6]上函數(shù)f（x）的圖象；（2）因為g（x）的圖象是一條與x軸平行的直線，故數(shù)形結(jié)合即可得k的值；（3）先將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，再利用兩函數(shù)的圖象即可數(shù)形結(jié)合討論零點個數(shù)與k的范圍

解答：解：（1）f（x）=|x²-4x-5|=

x2-4x-5      -2≤x≤-1或5≤x≤6 -(x2-4x-5)    -1≤x≤5

，如圖．
（2）∵g（x）的圖象是一條與x軸平行的直線
函數(shù)f（x）與g（x）有3個交點
由f（x）的圖象（下圖）可知此時g（x）的圖象經(jīng)過
y=-（x²-4x-5）的最高點
即g（x）=k=

4•(-1)•5-42

4•(-1)

=9
∴k=9
（3）∵函數(shù)?（x）=|x²-4x-5|-k的零點個數(shù)即函數(shù)f（x）與g（x）的交點個數(shù)
又∵g（x）的圖象是一條與x軸平行的直線
∴由f（x）的圖象（右圖）可知 
k=0或k＞9時，函數(shù)?（x）=|x²-4x-5|-k的零點個數(shù)為2個
0＜k＜9時，函數(shù)?（x）=|x²-4x-5|-k的零點個數(shù)為4個
k=9時，函數(shù)?（x）=|x²-4x-5|-k的零點個數(shù)為3個
k＜0時，函數(shù)?（x）=|x²-4x-5|-k的零點個數(shù)為0個

點評：本題綜合考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及利用圖象和性質(zhì)解決實際問題的能力，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、函數(shù)的零點及絕對值函數(shù)的綜合運用，本題對思維能力要求較高，去掉絕對值是解決問題的關(guān)鍵