Question

已知α∈(-

π

2

，0)，cos(α+

π

12

)=

2

3

，則sin(2α+

π

3

)=

-

4 15 +1

18

．

Answer 1

分析：視角α+

π

12

看作整體，將2α+

π

3

轉(zhuǎn)化為 2（α+

π

12

）+

π

6

，利用兩角和的正弦公式，二倍角公式計(jì)算化簡(jiǎn)．

解答：解：∵α∈(-

π

2

，0)，cos(α+

π

12

)=

2

3

，∴cos2(α+

π

12

)=2cos2(α+

π

12

)-1=2×

4

9

-1=-

1

9

＜0，
而2（α+

π

12

）∈（-

5π

6

，

π

6

），所以2（α+

π

12

）∈（-

5π

6

，-

π

2

），
所以sin2(α+

π

12

)=-

1-(- 1 9 )2

=-

4 5

9

，
所以sin(2α+

π

3

)=sin[2（α+

π

12

）+

π

6

]=sin[2（α+

π

12

）]cos

π

6

+cos[2（α+

π

12

）sin

π

6

]
=（-

4 5

9

）×

3

2

+(-

1

9

)×

1

2

=-

4 15 +1

18

故答案為：-

4 15 +1

18

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)值的計(jì)算，二倍角公式的應(yīng)用，考查角的代換，轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．將2α+

π

3

轉(zhuǎn)化為 2（α+

π

12

）+

π

6

是關(guān)鍵，在求sin2(α+

π

12

)時(shí)，應(yīng)盡可能縮小2（α+

π

12

）的取值范圍，使sin2(α+

π

12

)的正負(fù)取值準(zhǔn)確化．