Question

已知：一個圓錐的底面半徑為R=2，高為H=4，在其中有一個高為x的內接圓柱．
（1）寫出圓柱的側面積關于x的函數；
（2）x為何值時，圓柱的側面積最大．

Answer 1

分析：（1）畫出圓錐的軸截面，將空間問題轉化為平面問題，然后根據相似三角形的性質和比例的性質，得出內接圓柱底面半徑r與x關系式，利用由圓柱的側面積公式，得到函數解析式，
（2）根據二次函數的性質易得到其最大值，及對應的x的值．

解答：解：（1）設內接圓柱底面半徑為r，
S_圓柱側=2πrx①，∵

r

R

=

H-x

H

∴r=

R

H

(H-x)=

1

2

(4-x)
②代入①得S_圓柱側=2πx•

1

2

(4-x)=π（-x²+4x）（0＜x＜4）
（2）S_圓柱側=-π（x-2）2+4π，所以x=2時，圓柱的側面積最大，最大為4π

點評：本題考查的知識點是圓錐的幾何特征及圓錐及圓柱的側面積公式，將空間問題轉化為平面問題是解答立體幾何題最常用的思路．