Question

2013年4月14日，CCTV財經頻道報道了某地建筑市場存在違規使用未經淡化海砂的現象．為了研究使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達標有關，某大學實驗室隨機抽取了60個樣本，得到了相關數據如下表：

	混凝土耐久性達標	混凝土耐久性不達標	總計
使用淡化海砂	25	5	30
使用未經淡化海砂	15	15	30
總計	40	20	60

（1）根據表中數據，利用獨立性檢驗的方法判斷，能否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達標有關？
（2）若用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣本中抽取了6個，現從這6個樣本中任取2個，則取出的2個樣本混凝土耐久性都達標的概率是多少？
參考數據：

p（K2≥K）	0.10	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

Answer 1

解：（1）假設：是否使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達標無關，由已知數據可求得：
K²=≈7.5＞6.635，
因此，能在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達標有關．
（2）用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣本中抽取了6個，其中應抽取“混凝土耐久性達標”的為=5，
“混凝土耐久性不達標”的為1．
“混凝土耐久性達標”的記為A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，“混凝土耐久性不達標”的記為B．
從這6個樣本中任取2個，有C=15可能，
設“取出的2個樣本混凝土耐久性都達標”為事件A，
它的對立事件為“取出的2個樣本至少有一個混凝土耐久性不達標”，包含（A₁，B），（A₂，B），
（A₃，B），（A₄，B），（A₅，B）共5種可能，
所以 P（A）=1-P（）=1-=．
則取出的2個樣本混凝土耐久性都達標的概率是．
分析：（1）利用2×2列聯表中的數據，計算出k²，對性別與喜愛運動有關的程度進行判斷，
（2）本題是一個古典概型，試驗發生包含的事件共有15種結果，設“取出的2個樣本混凝土耐久性都達標”為事件A，它的對立事件為“取出的2個樣本至少有一個混凝土耐久性不達標”，根據概率公式得到對立事件的概率，最后根據對立事件的概率公式得出結果．
點評：本題把概率的求法，列聯表，獨立性檢驗等知識有機的結合在一起，是一道綜合性題目，但題目難度不大，符合新課標對本部分的要求，是道好題．