Question

已知y=sinx+ax為R上的增函數，則a的取值范圍為

[1，+∞）

．

Answer 1

分析：求出函數的導函數，由y=sinx+ax為R上的增函數，則其導函數在R上恒大于等于0，分離變量后，利用余弦函數的值域可求a的范圍．

解答：解：由y=sinx+ax，則y^′=（sinx+ax）^′=cosx+a，
要使y=sinx+ax為R上的增函數，則對任意x∈R有cosx+a≥0恒成立，
即a≥-cosx，
因為y=-cosx≤1，
所以a≥1．
所以，使y=sinx+ax為R上的增函數的a的取值范圍為[1，+∞）．
故答案為[1，+∞）．

點評：本題考查了利用函數的導函數研究函數的單調性，函數在某一區間上為增函數，則其導函數恒大于等于0，在某一區間上為減函數，則其導函數恒小于等于0，是中檔題．