Question

拋物線C的頂點在原點，焦點F與雙曲線

x2

3

-

y2

6

=1的右焦點重合，過點P（2，0）且斜率為1的直線l與拋物線C交于A、B兩點．
（1）求弦長|AB|；   （2）試判斷以弦AB為直徑的圓與拋物線準線的位置關系．

Answer 1

分析：（1）雙曲線右焦點為F（3，0），它也是拋物線的焦點．所以拋物線方程為y²=12x．由直線l的方程為y=x-2，由此能求出弦長|AB|．
（2）弦中點坐標為x中=

x1+x2

2

=

8

，

y中=x中-2=6，所以以AB為直徑的圓的圓心為（8，6），半徑r=2

30

，又準線為x=-3．由此能得到圓與拋物線準線相離．

解答：解：（1）雙曲線右焦點為F（3，0），
它也是拋物線的焦點．
∴拋物線方程為y²=12x．…（2分）
又直線l的方程為y=x-2，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=x-2 y2=12x

，
得x²-16x+4=0…（4分）
∴弦長|AB|=

(1+1)(162-4×4)

=4

30

．…（6分）
（2）弦中點坐標為x中=

x1+x2

2

=

8

，

y中=x中-2=6，…（8分）
∴以AB為直徑的圓的圓心為（8，6），
半徑r=2

30

，
又準線為x=-3，
∴圓心到準線的距離d=8+3=11＞2

30

=r，
∴圓與拋物線準線相離．…（12分）

點評：本題主要考查圓錐曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．