Question

已知拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，且拋物線上有一點P（4，m）到焦點的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若拋物線C與直線y=x-4相交于不同的兩點A、B，求證：OA⊥OB．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意設拋物線方程為y²=2px（p＞0），利用P（4，m）到焦點的距離等于A到其準線的距離，根據拋物線的定義，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）直線方程與拋物線方程聯立，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），證明

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0即可．

解答：（Ⅰ）解：由題意設拋物線方程為y²=2px（p＞0），其準線方程為x=-

p

2

，
∵P（4，m）到焦點的距離等于A到其準線的距離，
∴4+

p

2

=5，∴∴p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（Ⅱ）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
由

y2=4x y=x-4

消去x得y²-4y-16=0，
∴y₁y₂=-16，∴x₁x₂=

y12

4

•

y22

4

=16，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

OA

⊥

OB

，
∴OA⊥OB．

點評：本題主要考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理、向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．