Question

(本小題滿分14分)

某地政府為科技興市,欲將如圖所示的一塊不規則的非農業用地規劃成一個矩形高科技工業園區.已知且,曲線段是以點為頂點且開口向右的拋物線的一段.

(I)建立適當的坐標系,求曲線段的方程;

(II)如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在上,且一個頂點落在曲線段上,問如何規劃才能使矩形工業園區的用地面積最大?并求這個最大值.

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

(I) 以O為原點,OA所在直線為y軸建立直角坐標系(如圖),

依題可設拋物線方程為y²=2px(p>0),且C(4,2).由此可得,

故曲線段OC的方程為y²=x().……………………………6分

(II) 設P(t²,t)(),

則在矩形PQBN中,|PQ|=2+t,|PN|=4-t².

工業園區面積S(t)=|PQ||PN|=(2+t)( 4-t²)= -t³-2t²+4t+8.

……………………………8分

導數= -3t²-4t+4,

當時,; 當時,.

所以S(t)在上為增函數,在上為減函數…………10分.

所以時,S_max=;此時.…………13分

答：當矩形的長為km,寬為km時,園區面積最大,最大值為km².-----14分

 

【解析】略