Question

下列命題
①x，y＞0時，

x

y

+

2y

x

≥2          
②函數f(x)=

x2+2

x2+1

的最小值為2
③lgx+

1

lgx

≥2                   
④若正數a、b滿足a+b=1，則(a+

1

a

)(b+

1

b

)≥4
其中一定成立的是

①②④

（只需填寫序號）

Answer 1

分析：本題考查基本不等式的應用，根據使用條件：“一正，二定，三相等”，即可判斷出每個命題是否成立．

解答：解：①∵x，y＞0，∴由基本不等式得

x

y

+

2y

x

≥2

x y 2y x

=2

2

＞2（當且僅當

x

y

=

2

時取“=”號）．由此可知①一定成立．
②∵f（x）=

x2+2

x2+1

=

x2+1

+

1

x2+1

≥2，當且僅當

x2+1

=

1

x2+1

，即x=0時取“=”號，因此函數f（x）的最小值為2．
③當lgx＜0時，lgx+

1

lgx

＜0，故③不成立．
④∵a＞0，b＞0，∴（a+

1

a

）(b+

1

b

)≥2

a× 1 a

×2

b× 1 b

=4，當且僅當

a= 1 a b= 1 b

，即a=b=1時取“=”號．
又∵a+b=1，∴“=”號不成立．∴（a+

1

a

）（b+

1

b

）＞4，故④一定成立．
故一定成立的是①②④．

點評：本題主要考查基本不等式，特別要注意使用條件：一正，二定，三相等．