Question

定義域R的函數f（x）滿足f（x+2）=3f（x），當x∈[0，2]時，f（x）=x²-2x，若x∈[-4，-2]時，f(x)≥

1

18

(

3

t

-t)恒成立，則實數t的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，-1]∪（0，3]
• B、(-∞，-

  3

  ]∪(0，

  3

  ]
• C、[-1，0）∪[3，+∞）
• D、[-

  3

  ，0)∪[

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：（1）由x∈[0，2]時，f（x）=x²-2x及f（x+2）=3f（x）可求得f（x+4）=（x+4）²-2（x+4）=x²+6x+8，從而可得
f（x）=

1

9

（x²+6x+8），x∈[-4，-2]，而x∈[-4，-2]時，f(x)≥

1

18

(

3

t

-t)恒成立可轉化為

1

18

(

3

t

-t)≤f(x)min，結合二次函數的知識可先求函數f（x）的最小值，從而可求t的范圍

解答：解：∵x∈[-4，-2]
∴x+4∈[0，2]
∵x∈[0，2]時，f（x）=x²-2x
∴f（x+4）=（x+4）²-2（x+4）=x²+6x+8
∵函數f（x）滿足f（x+2）=3f（x）
∴f（x+4）=3f（x+2）=9f（x）
∴f（x）=

1

9

（x²+6x+8），x∈[-4，-2]
∵x∈[-4，-2]時，f(x)≥

1

18

(

3

t

-t)恒成立

1

18

(

3

t

-t)≤f(x)min=-

1

9

解不等式可得t≥3或-1≤t＜0
故選C．

點評：解決本題的關鍵在于“轉化”，先將恒成立問題轉化為求解函數的最小值問題，再結合二次函數在閉區間上的最值問題，最終得以解決．很多問題在實施“化難為易”、“化生為熟”中得以解決．