Question

定義域R的函數f（x）滿足f（x+2）=3f（x），當x∈[0，2]時，f（x）=x²-2x，若恒成立，則實數t的取值范圍是（ ）
A．（-∞，-1]∪（0，3]
B．
C．[-1，0）∪[3，+∞）
D．

Answer 1

【答案】分析：（1）由x∈[0，2]時，f（x）=x²-2x及f（x+2）=3f（x）可求得f（x+4）=（x+4）²-2（x+4）=x²+6x+8，從而可得
f（x）=（x²+6x+8），x∈[-4，-2]，而恒成立可轉化為，結合二次函數的知識可先求函數f（x）的最小值，從而可求t的范圍
解答：解：∵x∈[-4，-2]
∴x+4∈[0，2]
∵x∈[0，2]時，f（x）=x²-2x
∴f（x+4）=（x+4）²-2（x+4）=x²+6x+8
∵函數f（x）滿足f（x+2）=3f（x）
∴f（x+4）=3f（x+2）=9f（x）
∴f（x）=（x²+6x+8），x∈[-4，-2]
∵恒成立
=
解不等式可得t≥3或-1≤t＜0
故選C．
點評：解決本題的關鍵在于“轉化”，先將恒成立問題轉化為求解函數的最小值問題，再結合二次函數在閉區間上的最值問題，最終得以解決．很多問題在實施“化難為易”、“化生為熟”中得以解決．