Question

已知).
（1）若時，求函數在點處的切線方程；
（2）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍；
（3）令是否存在實數，當是自然對數的底）時，函數的最小值是.若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在實數，使在上的最小值是.

試題分析：（1）當時， ，求其在切點處的導函數值，得到切線斜率，由點斜式即得所求；
（2）函數在上是減函數，轉化成在上恒成立；
令，解即得；
（3）假設存在實數，使在上的最小值是，根據，
討論當、 、等三種情況時，令，求解即得.
（1）當時，           1分
,函數在點處的切線方程為   3分
（2）函數在上是減函數
在上恒成立       4分
令，有得              6分
                               7分
（3）假設存在實數，使在上的最小值是3
                         8分
當時，，在上單調遞減，
（舍去)                           10分
當且時，即，在上恒成立，在上單調遞減，（舍去)           11分
當且時，即時，令，得；，得
在上單調遞減，在上單調遞增
，滿足條件              13分
綜上所述，存在實數，使在上的最小值是.  14分