Question

關于x的方程(x²－1)²－|x²－1|＋k＝0，給出下列四個命題：

①存在實數k，使得方程恰有2個不同的實根；

②存在實數k，使得方程恰有4個不同的實根；

③存在實數k，使得方程恰有5個不同的實根；

④存在實數k，使得方程恰有8個不同的實根．

其中假命題的個數是

[　　]

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

答案：A
解析：

令t＝x2－1，且y＝t2－|t|，y＝－k，在同一坐標系中作出函數y＝t2－|t|，y＝－k的圖像，如圖所示． 　　當k＝0時，函數y＝t2－|t|，y＝－k的圖像有3個交點，－1，0，1，相應地，應有x2－1＝1，x2－1＝－1，x2－1＝0，則此時方程有5個根； 　　當k＜0時，此時－k＞0，函數y＝t2－|t|，y＝－k的圖像有2個交點，此時t2－|t|＋k＝0，Δ＝1－4k＞0，從而|t|＝，即x2＝，或x2＝＜0(舍去)，則此時方程有2個不同的根； 　　當k＝時，函數y＝t2－|t|，y＝－k的圖像有2個交點，且|x2－1|＝，則此時方程有4個根； 　　當0＜k＜時，函數y＝t2－|t|，y＝－k的圖像有4個交點，從而原方程有8個根． 　　從而假命題的個數為0，故選A．