Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F₂，點P為橢圓上不同于左右頂點的任意一點，△F₁PF₂的重心為G，內心為I，且有IG=λ

F1F2

（λ為實數），斜率為1的直線l經過點F₁，且與圓x²+y²=1相切，則橢圓的方程為（　　）

• A、

  x2

  8

  +

  y2

  6

  =1
• B、

  x2

  6

  +

  y2

  4

  =1
• C、

  x2

  9

  +

  y2

  7

  =1
• D、

  x2

  10

  +

  y2

  8

  =1

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：在焦點△F₁PF₂中，設P（x₀，y₀），由三角形重心坐標公式，可得重心G的縱坐標，因為

IG

=λ

F1F2

，故內心I的縱坐標與G相同，最后利用三角形F₁PF₂的面積等于被內心分割的三個小三角形的面積之和建立a、b、c的等式，即可得到a與c的關系；再由斜率為1的直線l經過點F₁，且與圓x²+y²=1相切，得到c的值，進而求得a與b的值，得到橢圓的方程．

解答：解：設P（x₀，y₀），∵G為△F₁PF₂的重心，
∴G點坐標為 G（

x0

3

，

y0

3

），
∵

IG

=λ

F1F2

，∴IG∥x軸，
∴I的縱坐標為

y0

3

，
在焦點△F₁PF₂中，|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴S△F1PF2=

1

2

•|F₁F₂|•|y₀|
又∵I為△F₁PF₂的內心，∴I的縱坐標為

y0

3

即為內切圓半徑，
內心I把△F₁PF₂分為三個底分別為△F₁PF₂的三邊，高為內切圓半徑的小三角形
∴S△F1PF2=

1

2

•（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）|

y0

3

|
∴

1

2

•|F₁F₂|•|y₀|=

1

2

（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）|

y0

3

|
即

1

2

×2c•|y₀|=

1

2

（2a+2c|）|

y0

3

|，
∴2c=a，
∵斜率為1的直線l經過點F₁，∴直線l的方程為x-y+c=0
又∵直線l與圓x²+y²=1相切，∴d=

|c|

1+1

=1，解得c=

2

故a=2c=2

2

，b²=a²-c²=6
則橢圓的方程為

x2

8

+

y2

6

=1
故選：A．

點評：本題考查了橢圓的標準方程和幾何意義，重心坐標公式，三角形內心的意義及其應用，直線與圓的位置關系．