Question

已知函數f(x)＝m(x－1)²－2x＋3＋ln x，m≥1.
(1)當m＝時，求函數f(x)在區間[1,3]上的極小值；
(2)求證：函數f(x)存在單調遞減區間[a，b]；
(3)是否存在實數m，使曲線C：y＝f(x)在點P(1,1)處的切線l與曲線C有且只有一個公共點？若存在，求出實數m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1) 極小值為f(2)＝ln 2－ (2)見解析   (3) 存在實數m＝1使得曲線C：y＝f(x)在點P(1,1)處的切線l與曲線C有且只有一個公共點

(1)f′(x)＝m(x－1)－2＋ (x＞0)．
當m＝時，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x₁＝2，x₂＝.
f (x)，f′(x)在x∈(0，＋∞)上的變化情況如下表：

x				2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

所以當x＝2時，函數f(x)在x∈[1,3]上取到極小值，且極小值為f(2)＝ln 2－.
(2)證明：令f′(x)＝0，得mx²－(m＋2)x＋1＝0.(*)
因為Δ＝ (m＋2)²－4m＝m²＋4＞0，所以方程(*)存在兩個不等實根，記為a，b(a＜b)．
因為m≥1，所以，
所以a＞0，b＞0，即方程(*)有兩個不等的正根，因此f′(x)＜0的解為(a，b)．
故函數f(x)存在單調遞減區間[a，b]．
(3)因為f′(1)＝－1，所以曲線C：y＝f(x)在點P(1,1)處的切線l的方程為y＝－x＋2.若切線l與曲線C有且只有一個公共點，則方程m(x－1)²－2x＋3＋ln x＝－x＋2有且只有一個實根．
顯然x＝1是該方程的一個根．
令g(x)＝m(x－1)²－x＋1＋ln x，則g′(x)＝m(x－1)－1＋＝.
當m＝1時，有g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，所以x＝1是方程的唯一解，m＝1符合題意．
當m＞1時，由g′(x)＝0，得x₁＝1，x₂＝，則x₂∈(0,1)，易得g (x)在x₁處取到極小值，在x₂處取到極大值．
所以g(x₂)＞g(x₁)＝0，又當x趨近0時，g(x)趨近－∞，所以函數g(x)在內也有一個解，m＞1不符合題意．
綜上，存在實數m＝1使得曲線C：y＝f(x)在點P(1,1)處的切線l與曲線C有且只有一個公共點．