Question

已知函數(shù)，是大于零的常數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時,求的極值；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(Ⅲ)證明：曲線上存在一點(diǎn)，使得曲線上總有兩點(diǎn)，且成立.

 

Answer 1

【答案】

（I）極大值，極小值.

（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增時，或．

（Ⅲ）曲線上存在一點(diǎn)，使得曲線上總有兩點(diǎn)，且成立 ．

【解析】

試題分析：（I）求極值一般遵循“求導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、討論區(qū)間的導(dǎo)數(shù)值正負(fù)、計算極值”.

（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增，因此，其導(dǎo)函數(shù)為正數(shù)恒成立，據(jù)此建立的不等式求解.

應(yīng)注意結(jié)合的不同取值情況加以討論.

（Ⅲ）通過確定函數(shù)的極大值、極小值點(diǎn),, 并確定的中點(diǎn).

設(shè)是圖象任意一點(diǎn),由，可得，

根據(jù)，可知點(diǎn)在曲線上，作出結(jié)論.

本題難度較大，關(guān)鍵是能否認(rèn)識到極大值、極小值點(diǎn),的中點(diǎn)即為所求.

試題解析：（I），，

當(dāng)時，，

令得.

在分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減、單調(diào)遞增，

于是，當(dāng)時，函數(shù)有極大值，時，有極小值.

------4分

（Ⅱ），若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增，

則在上恒成立，

當(dāng)，即時，由得；

當(dāng)，即時，，無解；

當(dāng)，即時，由得．

綜上，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增時，或．    10分

（Ⅲ），，

令，得，

在區(qū)間，，上分別單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

于是當(dāng)時，有極大值；

當(dāng)時，有極小值．

記,, 的中點(diǎn),

設(shè)是圖象任意一點(diǎn),由，得，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040904444389223494/SYS201404090445229703652310_DA.files/image054.png">

，

由此可知點(diǎn)在曲線上，即滿足的點(diǎn)在曲線上．

所以曲線上存在一點(diǎn)，使得曲線上總有兩點(diǎn)，且成立 ．          14分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.